Question

已知z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)．
（1）求z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡；
（2）設(shè)u=3iz+1，求u對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)B的軌跡；
（3）設(shè)，求v對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡．

Answer 1

【答案】分析：（1）由z∈R的性質(zhì)可知，z=，利用此知識(shí)，可得，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023214258654060488/SYS201310232142586540604019_DA/2.png">，可求得|z|²=4，即|z|=2．也可直接將設(shè)z=x+yi（x、y∈R）求解．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz，兩邊取�？傻媒Y(jié)論．
（3）因?yàn)閦對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)A的軌跡是中心在原點(diǎn)，半徑等于2的圓，故可設(shè)z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π），化簡(jiǎn)整理即可．
解答：解：（1），因?yàn)閦是虛數(shù)，所以，于是|z|²=4，即|z|=2，且z≠±2，因此動(dòng)點(diǎn)A軌跡是中心在原點(diǎn)，半徑等于2的圓，但去掉兩個(gè)點(diǎn)（2，0）與（-2，0）．
（2）由u=3iz+1得u-1=3iz．由（1）及題設(shè)知|z|=2，z≠±2，所以
|u-1|=6，且u-1≠±6i
因此動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓，中心在（1，0），半徑等于6，但去掉兩點(diǎn)（1，6）與（1，-6）
（3）設(shè)z=2（cosθ+sinθ），（θ≠π）則v=2（cosθ+isinθ）+=
再令v=x+yi（x，y∈R），則，消去θ得，其中x∈
所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓，，去掉兩點(diǎn)
點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的集合意義，綜合性較強(qiáng)，難度稍大．