Question

如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F(xiàn)為CD的中點．
（Ⅰ）求證：AF⊥平面CDE；
（Ⅱ）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．
又∵AC=AD，F(xiàn)為CD的中點，∴AF⊥CD．
又∵CD∩DE=D，AF⊥平面CDE．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：平面ACD⊥平面CDE．
取CE的中點Q，連接FQ，∴FQ∥DE，
∴FQ⊥平面ACD．于是可得FD，F(xiàn)Q，F(xiàn)A兩兩垂直，以F為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則F（0，0，0），C（-1，0，0），A，B，E（1，2，0）．
∴，，
設平面BCE的法向量，則，化為，
令x=1，則y=-1，z=0，∴，
∵FQ⊥平面ACD，于是可取平面ACD的法向量為．
．
∴===．
∴平面ACD和平面BCE所成銳二面角為45°．
分析：（Ⅰ）利用等腰三角形的性質、線面垂直的判定和性質定理即可證明；
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系，利用兩個平面的法向量所成的夾角即可得出二面角的大�。�
點評：熟練掌握等腰三角形的性質、面面、線面垂直的判定和性質定理、通過建立空間直角坐標系并利用兩個平面的法向量所成的夾角求二面角的方法是解題的關鍵．