Question

　　　 如圖所示，已知中，AB=2OB=4，若是繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的，記二面角B—AO—C的大小為

　 （I）若，求證：平面平面AOB；

　 （II）若時，求二面角C—OD—B的余弦值的最小值。

Answer 1

【解】解法一：（I）如圖所示，以O為原點，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，

       OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，

       則A（0，0，2），B（0，2，0），D（0，1，），C（2sinθ，2cosθ，0）．

       （II）設(shè)二面角C－OD－B的大小為α，由（1）得

       當(dāng)θ＝時，cosα＝0；當(dāng)θ∈（，］時，tanθ≤－，

       cosα＝＝＝－，……10分

       故－≤cosα＜0．因此cosα的最小值為－，

綜上，二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．            ……13分

       解法二：（I）因為AO⊥OB，二面角B－AO－C為，           ……3分

       所以OB⊥OC，又OC⊥OA，所以OC⊥平面AOB

       所以平面AOB⊥平面CO                         D．                          ……6分

       （II）當(dāng)θ＝時，二面角C－OD－B的余弦值為0；……7分

當(dāng)θ∈（，］時，過B作OD的垂線，垂足為E，

過C作OB的垂線，垂足為F，過F作OD的垂線，垂足為G，連結(jié)CG，

則∠CGF的補角為二面角C－OD－B的平面角．

在Rt△OCF中，CF＝2sinθ，OF＝－2cosθ，

在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cosθ，CG＝，

所以cos∠CGF＝＝－．                                                     ……10分

因為θ∈（，］，tanθ≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．

所以二面角C－OD－B的余弦值的最小值為－．                ……13分