Question

某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價(jià)不低于成本單價(jià)，且獲利不得高于45%，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？
（3）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，試確定銷售單價(jià)x的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：計(jì)算題

分析：（1）直接把點(diǎn)（65，55）、（75，45）代入一次函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組求解k，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）由每一件的利潤(rùn)乘以銷售量得利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法求最大值；
（3）求解不等式，結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的定義域得到獲得利潤(rùn)不低于500元時(shí)的銷售單價(jià)x的范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)題意得

65k+b=55 75k+b=45

，解得k=-1，b=120．
∴所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120（60≤x≤87）；
（2）每一件的獲利為x-60，
則獲得利潤(rùn)W=（x-60）•（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，
∵拋物線的開口向下，∴當(dāng)x＜90時(shí)，W隨x的增大而增大，而60≤x≤87，
∴當(dāng)x=87時(shí)，W=-（87-90）²+900=891，
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為87元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是891元；
（3）由-x²+180x-7200≥500，
整理得，x²-180x+7700≤0，解得，70≤x≤110，
∴要使該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)不低于500元，銷售單價(jià)應(yīng)在70元到110元之間，而60≤x≤87，
∴銷售單價(jià)x的范圍是70≤x≤87．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用配方法求函數(shù)的最值，考查了不等式的解法，是中檔題．