Question

設(shè)函數(shù)f（x）對所有的實數(shù)x都滿足f（x+2π）=f（x），求證：存在4個函數(shù)f_i（x）（i=1，2，3，4）滿足：
（1）對i=1，2，3，4，f_i（x）是偶函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，有f_i（x+π）=f_i（x）；
（2）對任意的實數(shù)x，有f（x）=f₁（x）+f₂（x）cosx+f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．

Answer 1

【答案】分析：先記，，則f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函數(shù)，h（x）是奇函數(shù)，對任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）再構(gòu)造四個函數(shù)，驗證其滿足性質(zhì)即可．
解答：證明：記，，則f（x）=g（x）+h（x），且g（x）是偶函數(shù)，h（x）是奇函數(shù)，對任意的x∈R，g（x+2π）=g（x），h（x+2π）=h（x）．
令，，，，其中k為任意整數(shù)．
則f_i（x），i=1，2，3，4是偶函數(shù)，且對任意的x∈R，f_i（x+π）=f_i（x），i=1，2，3，4．
下證對任意的x∈R，有f₁（x）+f₂（x）cosx=g（x）．
當(dāng)（k∈Z）時，顯然成立；
當(dāng)（k∈Z）時，因為，
而，故對任意的x∈R，f₁（x）+f₂（x）cosx=g（x）．
下證對任意的x∈R，有f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=h（x）．
當(dāng)（k∈Z）時，顯然成立；
當(dāng)x=kπ（k∈Z）時，h（x）=h（kπ）=h（kπ-2kπ）=h（-kπ）=-h（kπ），所以h（x）=h（kπ）=0，而此時f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=0，故h（x）=f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x；
當(dāng)（k∈Z）時，，
故，
又f₄（x）sin2x=0，從而有h（x）=f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x．
于是，對任意的x∈R，有f₃（x）sinx+f₄（x）sin2x=h（x）．
綜上所述，結(jié)論得證．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的構(gòu)造，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．