Question

已知a＞0且a≠1，．
（1）判斷f（x）的奇偶性并加以證明；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并用定義加以證明；
（3）當(dāng)f（x）的定義域為（-1，1）時，解關(guān)于m的不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義和冪運算的性質(zhì)即可證明函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)；（2）先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)為R上的單調(diào)增函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義，通過設(shè)?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用函數(shù)的奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為f（1-m）＜f（m²-1），再利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域，將不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式組即可得不等式的解集
解答：解：（1）函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
==-f（x）
∴函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)
（2）此函數(shù)為R上的單調(diào)增函數(shù)
證明：設(shè)?x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）==
=
∵a＞1時，＞0，＜0，＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
0＜a＜1時，＜0，＞0，＞0，f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)
（3）f（1-m）+f（1-m²）＜0?f（1-m）＜-f（1-m²）?f（1-m）＜f（m²-1）（奇函數(shù)的性質(zhì)）
∵函數(shù)f（x）為（-1，1）上的單調(diào)增函數(shù)
∴f（1-m）＜f（m²-1）??
解得1＜m＜
點評：本題考查了奇函數(shù)的定義及其判斷方法，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式的方法