Question

某工廠有216名工人接受了生產(chǎn)1000臺(tái)GH型高科技產(chǎn)品的總?cè)蝿?wù)，已知每臺(tái)GH型產(chǎn)品由4個(gè)G型裝置和3個(gè)H型裝置配套組成．每個(gè)工人每小時(shí)能加工6個(gè)G型裝置或3個(gè)H型裝置．現(xiàn)將工人分成兩組同時(shí)開始加工，每組分別加工一種裝置．設(shè)加工G型裝置的工人有x人，他們加工完G型裝置所需時(shí)間為g（x），其余工人加工完H型裝置所需時(shí)間為h（x）（單位：小時(shí)，可不為整數(shù)）．
（1）寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）比較g（x）與h（x）的大小，并寫出這216名工人完成總?cè)蝿?wù)的時(shí)間f（x）的解析式；
（3）應(yīng)怎樣分組，才能使完成總?cè)蝿?wù)用的時(shí)間最少？

Answer 1

分析：（1）由題意，得出每小時(shí)加工的G型裝置和H型裝置的個(gè)數(shù)，求出總的個(gè)數(shù)，即可得出寫出g（x），h（x）的解析式；
（2）用作差法比較大小即可，得出分配人數(shù)x的范圍與兩函數(shù)值大小的關(guān)系，總加工時(shí)間以后加工完成的零件所需的時(shí)間計(jì)，由此利用分段函數(shù)寫出f（x）的解析式；
（3）求函數(shù)f（x）的最小值，算出最小值時(shí)的自變量即得，由于函數(shù)f（x）是一個(gè)分段函數(shù)，故要對(duì)每一段上的最值作出研究，再進(jìn)行比較得到函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）由題意知，需加工G型裝置4000個(gè)，加工H型裝置3000個(gè)，所用工人分別為x人，（216-x）人．
∴g（x）=

4000

6x

，h（x）=

3000

(216-x)•3

，
即g（x）=

2000

3x

，h（x）=

1000

216-x

（0＜x＜216，x∈N^*）．
（2）g（x）-h（x）=

2000

3x

-

1000

216-x

=

1000•(432-5x)

3x(216-x)

．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
當(dāng)0＜x≤86時(shí)，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
當(dāng)87≤x＜216時(shí)，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=

2000 3x ，0＜x≤86，x∈N+ 1000 216-x ，87≤x≤216，x∈N+

（3）完成總?cè)蝿?wù)所用時(shí)間最少即求f（x）的最小值．
當(dāng)0＜x≤86時(shí)，f（x）遞減，
∴f（x）≥f（86）=

2000

3×86

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（86），此時(shí)216-x=130．
當(dāng)87≤x＜216時(shí)，f（x）遞增，
∴f（x）≥f（87）=

1000

216-87

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（87），此時(shí)216-x=129．
∴f（x）_min=f（86）=f（87）=

1000

129

．
∴加工G型裝置，H型裝置的人數(shù)分別為86、130或87、129．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問題選擇合適的模型是解決實(shí)際問題的變化關(guān)系常用的方法，其步驟是，建立函數(shù)模型，求解函數(shù)，得出結(jié)論，再反饋回實(shí)際問題中去．