Question

若正數(shù)數(shù)列{a_n}滿足，其中S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求S_n；
（2）若，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1，及a_n＞0，可求a₁，由可得，即S_n²-S_n-1²=1，則可得{S_n²}是以1首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)可求S_n²，進(jìn)而可求S_n
（2）由（1）可得，要判斷k≠m是否存在b_k=b_m，考慮函數(shù)（x≥1）的單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求
解答：解：（1）令n=1，又a_n＞0，得a₁=1．
∵，即
∴S_n²-S_n-1²=1，S₁²=a₁²=1
∴{S_n²}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列
∴S_n²=S₁²+（n-1）•1=1+n-1=n
∴．
（2），則考慮函數(shù)（x≥1），則．
令h（x）=x+1+xlnx（x≥1），則h'（x）=-lnx≤0，∴h（x）在[1，+∞）遞減
∵h(yuǎn)（1）=2＞0，h（2）=3-2ln2＞0，h（3）=4-3ln3＞0，h（4）=5-4ln4＜0
∴x≥4時(shí)，h（x）≤h（4）＜0，則g'（x）＜0，g（x）在[4，+∞）遞減；
1≤x≤3時(shí)，h（x）≥h（3）＞0，則g'（x）＞0，g（x）在[1，3]遞增．
∴g（1）＜g（2）＜g（3），g（4）＞g（5）＞g（6）＞…
即lnb₁＜lnb₂＜lnb₃，lnb₄＞lnb₅＞lnb₆＞…
∴b₁＜b₂＜b₃，b₄＞b₅＞b₆＞…
∵
∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又b₁=1，當(dāng)n≠1時(shí)，b_n＞1．
∴若存在兩項(xiàng)相等，只可能是b₂、b₃與后面的項(xiàng)相等
又，∴b₂=b₈
∵，∴數(shù)列b_n中存在唯一相等的兩項(xiàng)b₂=b₈
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，屬于函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用的考查．