已知函數(shù)f(x)=lg(x+
a
x+1
-1)
,其中a是大于零的常數(shù).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)當a∈(1,4)時,求函數(shù)f(x)的最小值;
(3)若?x∈[0,+∞)恒有f(x)>0,試確定實數(shù)a的取值范圍.
(1)x+
a
x+1
-1>0,
x2+a-1
x+1
>0
,
因為a>0,故當a>1時,定義域為(-1,+∞);
當a=1時,定義域為(-1,0)∪(0,+∞);
當0<a<1時,定義域為(-1,-
1-a
)∪(
1-a
,+∞)

(2)令g(x)=x+
a
x+1
-1=x+1+
a
x+1
-2
,
當a∈(1,4)時,由(1)得x∈(-1,+∞),故x+1>0,
所以g(x)=x+
a
x+1
-1=x+1+
a
x+1
-2≥2
a
-2
,
當且僅當x+1=
a
x+1
x=
a
-1
時等號成立.
故f(x)的最小值為lg(2
a
-2)

(3)?x∈[0,+∞),恒有f(x)>0,
x+
a
x+1
-1>1,
a
x+1
>2-x
,又x∈[0,+∞),
則a>(2-x)(x+1),a>-x2+x+2恒成立,故a>2.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
(2)當a<3時,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
(2)當x∈[
1
e
,e]
時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調性;
(2)設f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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