Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，求g（2x₀）的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）令p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

，說(shuō)明如何變換函數(shù)y=sin2x的圖象得到函數(shù) p（x）的圖象？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸⇒2x₀+

π

6

=kπ⇒g（x₀）=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），對(duì)k分k為偶數(shù)與k為奇數(shù)討論即可求得g（2x₀）的值；
（2）利用三角函數(shù)間的恒等變換可求得h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)h（x）在x∈[0，

π

4

]的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）依題意，p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換即可求得如何由函數(shù)y=sin2x的圖象得到函數(shù) p（x）的圖象．

解答：解：（1）由題設(shè)知f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]，
∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對(duì)稱軸，
∴2x₀+

π

6

=kπ，即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z），
∴g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

），
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+

1

2

sin（-

π

6

）=1-

1

4

=

3

4

；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+

1

2

sin

π

6

=1+

1

4

=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）
=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]+

3

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，x∈[0，

π

4

]．
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ-

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）時(shí)，函數(shù)h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

是增函數(shù)，
又x∈[0，

π

4

]，
故函數(shù)h（x）在∈[0，

π

4

]的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

12

]．
（3）∵p（x）=f（x）+g（x）-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

-

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

），
∴要得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的圖象，
需將y=sin2x的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（2x+

π

3

）的圖象，再將y=sin（2x+

π

3

）的圖象的縱坐標(biāo)縮小為原來(lái)的

1

2

（橫坐標(biāo)不變），即可得到p（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的余弦、三角函數(shù)間的恒等變換、正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性及函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變的綜合應(yīng)用，考查分析與運(yùn)算能力，屬于難題．