Question

已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=45°，AD=2，AB=

2

，BC=1，P是邊AB所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，則|

PC

+2

PD

|的最小值為（　�。�

• A、2
• B、4
• C、

  5 2

  2

• D、

  25

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量的模

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)P在x軸上，設(shè)P（x₀，0），將向量

PC

，

PD

坐標(biāo)化，從而將|

PC

+2

PD

|表示為x₀的函數(shù)，再探求函數(shù)的最小值．

解答： 解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸，過A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如右圖所示．
由題意得A（0，0），B(

2

，0)，C(

3 2

2

，

2

2

)，D(

2

，

2

)，
設(shè)P（x₀，0），則

PC

=(

3 2

2

-x0)，

PD

=(

2

-x0，

2

)，
從而

PC

+2

PD

=(

3 2

2

-x0，

2

2

)+2(

2

-x0，

2

)
=(

7 2

2

-3x0，

5 2

2

)，
∴|

PC

+2

PD

|=

( 7 2 2 -3x0)2+( 5 2 2 )2

，
當(dāng)

7 2

2

-3x0=0即x0=

7 2

6

時(shí)，|

PC

+2

PD

|有最小值

5 2

2

．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，模長公式，關(guān)鍵是根據(jù)已有信息，抓住圖形的幾何特征，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)值計(jì)算．值得注意的是，本題的建系方式不唯一，不同的建系方式，使得點(diǎn)和向量的坐標(biāo)也可能不同，建系的一般原則是：盡量將點(diǎn)或圖形分布在坐標(biāo)軸上，這樣便于標(biāo)出點(diǎn)的坐標(biāo)．