Question

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)M，N，交曲線于點(diǎn)P，則△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最小值為________．

Answer 1

分析：求導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出P的坐標(biāo)，確定過點(diǎn)P的切線方程，進(jìn)而可得M，N的坐標(biāo)，表示出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積的最小值．
解答：求導(dǎo)函數(shù)，可得
設(shè)P（m，）（m＞0），則過點(diǎn)P的切線方程為y-（）=×（x-m）
令y=0，則x=，令x=0，則y=1+
∴△OMN（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為S==
求導(dǎo)函數(shù)可得S′=
令S′=0，可得16m⁴+8m²-3=0
∴m=
∴m＞時(shí)，函數(shù)單調(diào)增，0＜m＜時(shí)，函數(shù)單調(diào)減
∴m=時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值，最小值為
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定切線方程，求出三角形的面積，利用導(dǎo)數(shù)法求最值，屬于中檔題．