Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′長為1，E是BB′的中點(diǎn)，F(xiàn)是B′C′的中點(diǎn)，
（1）求證：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面A′DE的法向量的坐標(biāo)以及

D′F

的坐標(biāo)，通過其數(shù)量積為0即可說明結(jié)論；
（2）先求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式即可．

解答：（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1）
E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（

1

2

，1，1），
∴

D′F

=（

1

2

，1，0），

DA′

=（1，0，1），

DE

=（1，1，

1

2

），
設(shè)平面A′DE的法向量為

n

=（a，b，c），
則

DA′ • n =0 DE • n =0

即

a+c=0 a+b+ 1 2 c=0

從而

n

=（1，-

1

2

，-1）

n

•

D′F

=

1

2

×1+1×（-

1

2

）+0×（-

1

2

）=0，
∴

D′F

⊥

n

，
所以：D′F∥平面A′DE；
（2）解：設(shè)平面ADE的法向量為

a

=（x，y，z），

DA

=（1，0，0），

DE

=（1，1，

1

2

）
則

DA • a =0 DE • a =0

即

x=0 x+y+ 1 2 z=0

從而

a

=（0，1，-2）
由（1）知DEA′的法向量為 

n

=（1，-

1

2

，-1）
∴cos＜

a

，

n

＞=

a • n

| a |•| n |

=

0×1+1×(- 1 2 )+(-2)×(-1)

5 × 9 4

=

5

5

∴二面角A-DE-A′的余弦值為

5

5

．

點(diǎn)評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．解決問題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量的坐標(biāo)．