Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2-2x，x≤0 log 1 2 (x+1)，x＞0

，若?x∈R，f（x）≤ax+2（a∈R），則a的最大值為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：作出函數(shù)f（x）的圖象，令y=ax+2，則圖象為直線且經(jīng)過（0，2），將直線繞著點（0，2）旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)直線與y=-x²-2x，x≤0的圖象相切時，直線在函數(shù)f（x）的圖象上方，且此時斜率a最大，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去y，運用判別式為0，通過圖象觀察，舍去負(fù)值．

解答： 解：作出函數(shù)f（x）的圖象，
令y=ax+2，則圖象為直線且經(jīng)過（0，2），
將直線繞著點（0，2）旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)直線與y=-x²-2x，x≤0的圖象相切時，直線在函數(shù)f（x）的圖象上方，且此時斜率a最大，
聯(lián)立直線y=ax+2和y=-x²-2x，消去y得，x²+（a+2）x+2=0，
由判別式為0，即有（a+2）²-8=0解得a=-2+2

2

或-2-2

2

由圖象可知a=-2-2

2

不成立，舍去．
故答案為：2

2

-2．

點評：本題考查分段函數(shù)的圖象和運用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及直線與拋物線相切的條件，考查運算能力，屬于中檔題．