Question

已知橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，短半軸長為

6

2

，離心率e=

10

5

，左、右焦點分別為F₁、F₂．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）過F₁作直線l交橢圓于P、Q兩點（直線l不過原點O），若橢圓上存在點E，使得四邊形OPEQ為平行四邊形，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ） 設x=my-1，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₀，y₀），橢圓上存在點E，使四邊形OPEQ為平行四邊形，由

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，由此能求出直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）設所求橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵短半軸長為

6

2

，離心率e=

10

5

，
∴

b= 6 2 a2=b2+c2 c a = 10 5

，…（3分）
解得a2=

5

2

，b2=

3

2

，c2=1，
∴所求橢圓的方程為：

2x2

5

+

2y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知F₁（-1，0）、F₂（1，0），
由題意知直線(x0-a)2+(

x02

2

-

1

4

)2=a2+

1

16

的傾斜角不為0，
故不妨設x=my-1…（7分）
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），E（x₀，y₀），
橢圓上存在點E，使四邊形OPEQ為平行四邊形，即

OE

=

OP

+

OQ

成立，則 

x0=x1+x2 y0=y1+y2

，E(x1+x2，y1+y2)，
整理

x=my-1 2x2 5 + 2y2 3 =1

，得（6m²+10）y²-12my-9=0，
△＞0，y1+y2=

12m

6m2+10

，y1•y2=-

9

6m2+10

①，…（8分）
∵點E在橢圓上，∴

2(x1+x1)2

5

+

2(y1+y1)2

3

=1，

2x12

5

+

2y12

3

+

2x22

5

+

2y22

3

+

4x1x2

5

+

4y1y2

3

=1，
又A、B在橢圓上，∴

2x12

5

+

2y12

3

=1，

2x22

5

+

2y22

3

=1．
故12x₁x₂+20y₁y₂+15=0②，
x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1③，
由①、②、③解得m²=1，m=±1，…（10分）
所求直線方程為：x-y+1=0，x+y+1=0．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．