Question

設(shè)m、n為正整數(shù)，且m≠2，二次函數(shù)y=x²+（3-mt）x-3mt的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為的d₁，二次函數(shù)y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為d₂，如果d₁≥d₂對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，求m、n的值．

Answer 1

解：設(shè)二次函數(shù)y=x²+（3-mt）x-3m的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₁，0），（x₂，0），
二次函數(shù)y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₃，0），（x₄，0），
則d₁=
=，

=．
∵d₁≥d₂對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，
∴（mt-3）²+12mt≥（n-2t）²+8nt對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，
即（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，
∴，
∴，
又∵m、n為正整數(shù)，
∴m=3，n=2或m=6，n=1．…（14分）
分析：設(shè)二次函數(shù)y=x²+（3-mt）x-3m的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₁，0），（x₂，0），二次函數(shù)y=-x²+（2t-n）x+2nt的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（x₃，0），（x₄，0），則d₁==，=．由d₁≥d₂對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，知（m²-4）t²+（6m-4n）t+9-n²≥0對(duì)一切實(shí)數(shù)t恒成立，由此能求出m、n的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．