Question

已知{a_n}為等比數(shù)列，a₁=1，a₅=256；S_n為等差數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，b₁=2，5S₅=2S₈．
（1） 求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2） 設(shè)T_n=a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n，求T_n．

Answer 1

解：（1）設(shè){a_n}的公比為q，由a₅=a₁q⁴得q=4，所以a_n=4^n-1．
設(shè){b_n}的公差為d，由5S₅=2S₈得5（5b₁+10d）=2（8b₁+28d），，
所以b_n=b₁+（n-1）d=3n-1．
（2）T_n=1•2+4•5+4²•8++4^n-1（3n-1），①
4T_n=4•2+4²•5+4³•8++4ⁿ（3n-1），②
②-①得：3T_n=-2-3（4+4²++4ⁿ）+4ⁿ（3n-1）
=-2+4（1-4^n-1）+4ⁿ（3n-1）
=2+（3n-2）•4ⁿ
∴T_n=（n-）4ⁿ+
分析：（1）直接利用a₁=1，a₅=256求出公比即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；把5S₅=2S₈轉(zhuǎn)化為用首項(xiàng)和公差來寫求出公差即可求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）直接利用（1）的結(jié)論對數(shù)列{a_n•b_n}用錯位相減法求和即可求T_n．
點(diǎn)評：本題的第二問考查了數(shù)列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項(xiàng)為一等差數(shù)列乘一等比數(shù)列組成的新數(shù)列．