Question

已知函數(shù)f（x）=x+xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
則函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，1）處的切線方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因?yàn)閒（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對(duì)任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因?yàn)閤＞1，
也就是k＜

x+xlnx

x-1

對(duì)任意x＞1恒成立．
令g(x)=

x+xlnx

x-1

，則g′(x)=

x-lnx-2

(x-1)2

，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數(shù)g(x)=

x+xlnx

x-1

在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+inx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0
[g(x)]min=g(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(1+x0-2)

x0-1

=x0∈(3，4)．
所以k＜[g（x）]_min=x₀
因?yàn)閤₀∈（3，4）．故整數(shù)k的最大值是3．