Question

已知函數(shù)f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤λx恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
（2）當(dāng)p＞0時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤λx恒成立，等價(jià)于1+lnx≤kx，∴，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
令，則λ≥h（x）_max，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/224122.png' />，由h′（x）=0得x=1，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減．
所以h（x）_max=h（1）=1，故λ≥1；
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)p＞1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得．
則當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0；，f′（x）＜0；
故f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．
分析：（1）當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤λx恒成立，等價(jià)于1+lnx≤λx，即，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），令，則k≥h（x）_max，確定函數(shù)h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，即可求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，令f′（x）＞0，可得函數(shù)單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0，可得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，分離參數(shù)是關(guān)鍵．