Question

已知橢圓過點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂為其左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂的面積等于．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若M、N是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足F₁M⊥F₂N，問以MN為直徑的圓C是否恒過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用△PF₁F₂的面積等于，求出橢圓的焦距，利用橢圓過點(diǎn)，求出a的值，從而可求橢圓E的方程；
（2）設(shè)M（-），N（-），利用F₁M⊥F₂N，可得mn=-，求出圓C的方程，令y=0，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，則
∵△PF₁F₂的面積等于，∴
∴c=
∴F₁（-，0）、F₂（，0）
∵橢圓過點(diǎn)，∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=2
∴橢圓E的方程為；
（2）設(shè)M（-），N（-），則=（-），=（-）
∵F₁M⊥F₂N，∴
∴，∴mn=-
以MN為直徑的圓C的圓心為（-，），半徑為
∴圓C的方程為
即x²+y²+3x-（m+n）y+2=0
令y=0，整理得x²+3x+2=0
∴x=-1或x=-2
∴以MN為直徑的圓C必過定點(diǎn)（-1，0）和（-2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程、直線與圓的方程，考查位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．