Question

在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，PA=PD=3，PD⊥CD．E為AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PE⊥CD；
（Ⅱ）求二面角C-PE-D的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）利用直線與平面垂直的判定定理證明：CD⊥平面PDE，然后利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明PE⊥CD；
（Ⅱ）方法一：過D作DH⊥PE，垂足為H，連結(jié)CH．說明∠CHD是二面角C-PE-D的平面角．在△PDE中，由余弦定理得求出DH，在Rt△CHD中，求解二面角C-PE-D的正切值即可．
方法二：以D為原點(diǎn)，DE，DC所在射線分別為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．推出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)
求出平面CPE的法向量為，平面DPE的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積求出夾角的余弦函數(shù)值，然后求解二面角C-PE-D的正切值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：在菱形ABCD中，因?yàn)椤螧AD=60°，E為AB的中點(diǎn)，可得DE⊥CD，
又因?yàn)镻D⊥CD，所以
CD⊥平面PDE，∵PE?平面PDE，
因此PE⊥CD．                      …（5分）
（Ⅱ）解：方法一：
過D作DH⊥PE，垂足為H，連結(jié)CH．由CD⊥平面PDE，得
CH⊥PE，
所以∠CHD是二面角C-PE-D的平面角．
由PE⊥CD，AB∥CD，可得
PE⊥AB，
由E為AB中點(diǎn)，PA=3，所以PE=2

2

．
在△PDE中，由余弦定理得cos∠DPE=

7 2

12

，故sin∠DPE=

46

12

，所以
DH=

46

4

．
在Rt△CHD中，可得tan∠CHD=

CD

DH

=

4 46

23

．
所以，二面角C-PE-D的正切值為

4 46

23

．                 …（15分）
方法二：
以D為原點(diǎn)，DE，DC所在射線分別為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．可知

D（0，0，0），C（0，2，0），E（

3

，0，0），
B（

3

，1，0），A （

3

，-1，0），
設(shè)P（a，0，c）．因?yàn)镻A=PD=3，即

a2+c2=9 (a- 3 )2+(-1)2+c2=9.

解得P（

2

3

，0，

23

3

）．
設(shè)平面CPE的法向量為

m

=（x，y，z），由

m • CE =0 m • CP =0

可取

m

=（2

23

，

69

，2），
又平面DPE的一個(gè)法向量為

n

=（0，1，0），于是
|cos＜

m

，

n

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

69

165

．
所以|tan＜

m

，

n

＞|=

4 46

23

．
因?yàn)槎�面角C-PE-D是銳角，所以二面角C-PE-D的正切值為

4 46

23

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用，同時(shí)考查空間想象能力、推理論證和運(yùn)算求解能力．