Question

已知函數(shù)，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=1，b=-2，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-1，1）、（1，3]內(nèi)各有一個極值點，且f（-1）≤0恒成立，求c的取值范圍；
（Ⅲ）對于給定的實數(shù)a、b、c，函數(shù)f（x）圖象上兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）處的切線分別為l₁，l₂．若直線l₁與l₂平行，證明：A、B關(guān)于某定點對稱，并求出該定點．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＜0，可得函數(shù)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個極值點，可得，根據(jù)f（-1）≤0恒成立，可得恒成立，求的最小值即可；
（Ⅲ）求導(dǎo)函數(shù)，利用直線l₁與l₂平行，可得斜率相等，從而可得x₁+x₂=-a，計算f（x₁）+f（x₂），即可得到結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)a=1，b=-2時，f′（x）=x²+x-2＜0，解得-2＜x＜1，故遞減區(qū)間為（-2，1）．
（Ⅱ）解：f′（x）=x²+ax+b，又f（x）區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個極值點，
所以，即，
其中點（a，b）是以A（0，-1），B（-2，-3），C（-4，3）為頂點的三角形內(nèi)部的點，或線段BC（不含點C）、線段AB（不含點A）上的點．
又，即恒成立，即求的最小值，
由圖可知的最小值在B（-2，-3）點處取到，故，即．
（Ⅲ）證明：因為，所以f'（x）=x²+ax+b，
所以l₁，l₂的斜率分別為，．
又直線l₁與l₂平行，所以k₁=k₂，即=，
因為x₁≠x₂，所以x₁+x₂=-a，從而x₂=-（a+x₁），
所以=．
又由上 x₁+x₂=-a，所以點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁≠x₂）關(guān)于點對稱．
故當(dāng)直線l₁與l₂平行時，點A與點B關(guān)于點對稱．
注：對稱點也可寫成
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查點的對稱性，屬于中檔題．