Question

已知直線L過點(diǎn)P（2，0），斜率為

4

3

，直線L和拋物線y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，求：
（1）P，M兩點(diǎn)間的距離/PM/：（2）M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：由題意可得直線l得方程為y=

4

3

(x-2)，聯(lián)立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

可得，8x²-41x+32=0
（1）結(jié)合方程的根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求M，然后由兩點(diǎn)間的距離公式可求PM
（2）由（1）可得M點(diǎn)的坐標(biāo) 
（3）利用公式AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

可求AB

解答：解：由題意可得直線l得方程為y=

4

3

(x-2)
聯(lián)立方程

y= 4 3 (x-2) y2=2x

8x²-41x+32=0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂） M（x₀，y₀），則 x1+x2=

41

8

，x1x2=4，y1+y2=

4

3

(x1+x2-4)=

3

2

（1）x0=

x1+x2

2

=

41

16

，y0=

y1+y2

2

=

3

4

P，M兩點(diǎn)間的距離PM=

(2- 41 16 )2+(0- 3 4 )2

=

15

16

（2）由（1）可得M點(diǎn)的坐標(biāo) (

41

16

，

3

4

)
（3）AB=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 9 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

25 9 ( 412 64 -16

)=

5

8

73

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程思想及方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵，還要注意兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用．