Question

在△ABC中，已知AB＝，cosB＝，AC邊上的中線BD＝，求sinA的值．

Answer 1

答案：
解析：

[解]解法一：設E為BC的中點，連接DE，則DE∥AB，且DE＝AB＝，設BE＝x． 　　在△BDE中利用余弦定理可得： 　　BD2＝BE2＋ED2－2BE·EDcos∠BED， 　　5＝x2＋＋2××x，解得x＝1，x＝－(舍去)． 　　故BC＝2，從而AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝，即AC＝． 　　又sinB＝，故，sinA＝． 　　解法二：以B為坐標原點，為x軸正向建立直角坐標系，且不妨設點A位于第一象限． 　　由sinB＝則，＝ 　　設＝(x，0)則＝，由條件得||＝＝ 　　從而x＝2，x＝－(舍去)．故＝， 　　于是cosA＝＝＝ 　　∴sinA＝＝． 　　解法三：如圖所示，過A作AH⊥BC交BC于H，延長BD到P使BD＝DP，連結AP、PC過P作PN⊥BC交BC的延長線于N，則圖 　　HB＝ABcosB＝，AH＝， 　　BN＝＝＝＝，而CN＝HB＝ 　　∴BC＝BN－CN＝2，HC＝，AC＝＝． 　　故由正弦定理得，∴sinA＝． 　　[評析]解法一通過中位線，利用余弦定理和正弦定理求解；解法二通過建立坐標系，利用向量數(shù)量積求解；解法三構造圖形，通過幾何途徑求解．