Question

已知數(shù)列{a_k}滿足：且（k=1，2，…，n-1）其中n是一個給定的正整數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{a_k}是一個單調數(shù)列；
（2）證明：對一切1＜m＜n，m∈N有：．

Answer 1

證明：（1）∵ （k=1，2，…，n-1），∴a_k≠0．∵，
∴a_k+1-a_k=-a_k=＞0，故數(shù)列{a_k}是一個遞增數(shù)列，即數(shù)列{a_k}是一個單調數(shù)列．
（2）由遞推公式，得=，
∴，
令k=1，2，3，…，n-1，有
＜，
＜，
…
，
∴，
∴，∴a_n＜1，
從而有：，
∴，
令k=1，2，3，…，m-1，有
，
，
…
，
∴，將代入整理得
∴對一切1＜m＜n，m∈N有：．
分析：（1）由，知a_k≠0，由且（k=1，2，…，n-1），知a_k+1-a_k=-a_k=＞0，由此能夠證明數(shù)列{a_k}是一個單調數(shù)列．
（2）由遞推公式，得=，，令k=1，2，3，…，n-1，得：，所以，再令k=1，2，3，…，m-1，能夠證明對一切1＜m＜n，m∈N有：．
點評：本題考查數(shù)列是單調數(shù)列的證明，考查不等式的證明．本題考查數(shù)列和不等式的綜合，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．