Question

設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，非零實(shí)數(shù)x、y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)，求證：

a

x

+

c

y

=2．

Answer 1

分析：先由a，b，c三數(shù)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到b²=ac，根據(jù)x，y分別為a，b和b，c的等差中項(xiàng)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到兩個(gè)關(guān)系式2x=a+b和2y=b+c，然后結(jié)合分析法整理即可得到結(jié)論．

解答：證明：因?yàn)閍，b，c成等比數(shù)列
所以  b²=ac①
又x，y分別為a與b，b與c的等差中項(xiàng)
所以    2x=a+b，2y=b+c②
要證   

a

x

+

c

y

=2
只要證  ay+cx=2xy
只要證  2ay+2cx=4xy
由①②得   2ay+2cx=a（b+c）+c（a+b）=ab+2ac+bc；
而4xy=（a+b）（b+c）=ab+b²+ac+bc=ab+2ac+bc成立．
所以命題得證．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明以及分析法的應(yīng)用，是一道中檔題．