Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí), 恒成立,求的取值范；

(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,求證: .

Answer 1

【答案】(1);(2)見(jiàn)解析.

【解析】分析：(1) )當(dāng)時(shí), 恒成立即求 的最小值大于等于零即可求出求的取值范圍；(2)，令,對(duì)a分類(lèi)討論，只有時(shí)滿(mǎn)足題意，易知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增， ，構(gòu)造新函數(shù)研究最值即可.

詳解：（1）【解法一】

，

設(shè)

①時(shí)，在上單調(diào)遞減，

，不合題意，舍；

②當(dāng)時(shí)，

（i）若，即時(shí)，當(dāng)在上單調(diào)遞增，，符合題意；

（ii）若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

，不合題意，舍；

綜上：；

【解法二】

若,而,不合題意,故；

易知: ,,

設(shè)，，

若,即時(shí), 在上單調(diào)遞增,

,在上單調(diào)遞增,

,符合題意；

若,即時(shí), 在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

令,記，當(dāng)時(shí), ，

在上是單調(diào)遞減函數(shù),

,在上是單調(diào)遞減函數(shù)，

,不合題意:

綜上: ；

(2)【解法一】

, ，

設(shè),

若,,

在上單調(diào)遞增,不合題意:當(dāng)時(shí), ，

在上只有一個(gè)根,不合題意:

當(dāng)時(shí), ,要使方程有兩個(gè)實(shí)根，

只需即，

，，

在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增；

在處取得極大值,在處取得極小值,符合題意；

設(shè)，， ，

在上是增函數(shù),

.

【解法二】

， ，

設(shè),

若，，

在上單調(diào)遞增,不合題意；

當(dāng)時(shí), ,

在上只有一個(gè)根,不合題意；

當(dāng)時(shí), ,要使方程有兩個(gè)實(shí)根,

只需，即

，，，

在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

在處取最大值，在處取最小值，符合題意；

，

設(shè)，則，，

設(shè) ， ，

在單調(diào)遞增，

.