Question

（本題16分）

已知數(shù)列中，，(n∈N*)，b_n＝3a_n。

（1）試證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式。

（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由。

（3）①試證在數(shù)列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數(shù)r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r，s之間的關(guān)系。

②在數(shù)列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列？若存在，確定正整數(shù)r，s，t之間的關(guān)系；若不存在，說明理由。

Answer 1

（1）證明: 由，得a_n＋1＝2ⁿ—a_n，                                                

∴,      

∴數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.      ……………2分

   ∴ , 即，

∴                               …………………………………3分

（2）解：假設(shè)在數(shù)列{b_n}中，存在連續(xù)三項b_k－1，b_k，b_k＋1(k∈N*, k≥2)成等差數(shù)列，則b_k－1＋b_k＋1＝2b_k，即，

即＝4                             …………………………………4分

①若k為偶數(shù)，則＞0，4＝－4＜0，所以，不存在偶數(shù)k，使得b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數(shù)列。                                         …………………………………5分

②若k為奇數(shù)，則k≥3，∴≥4，而4＝4，所以，當且僅當k＝3時，b_k－1，b_k，b_k＋1成等差數(shù)列。

綜上所述，在數(shù)列{b_n}中，有且僅有連續(xù)三項b₂，b₃，b₄成等差數(shù)列。       …………7分

（3）①證明：要使b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列，只需b₁＋b_s＝2 b_r，即3＋＝2[],即，          ①                            

（ⅰ）若s＝r＋1，在①式中，左端＝0，右端＝，要使①式成立，當且僅當s為偶數(shù)時成立。又s＞r＞1，且s，r為正整數(shù)，所以，當s為不小于4的正偶數(shù)，且s＝r＋1時，b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列�！�……9分

（ⅱ）若s≥r＋2時，在①式中，左端≥＝，由（2）可知，r≥3，∴r＋1≥4，∴≥16；右端≤0（當且僅當s為偶數(shù)、r為奇數(shù)時取“＝”），

∴當s≥r＋2時，b₁，b_r，b_s不成等差數(shù)列。                                 

綜上所述，存在不小于4的正偶數(shù)s，且s＝r＋1，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列。  ……11分

②假設(shè)存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列。

首先找到成等差數(shù)列的3項：由第（3）小題第①問，可知，b₁，b_2n－1，b_2n(n∈N*，且n≥2)成等差數(shù)列，其公差d＝b_2n－b_2n－1＝＝， ……12分

∴b_t＝b_2n＋d＝＋＝3－3。           

又b_t=，∴3－3＝，

即2^t－3＝－3。   ②                            ……………………14分

∵t＞2n＞2n－1，∴t≥2n＋1，∴②式的左端2^t－3≥－3＝≥8，而②式的右端－3≤－2，∴②式不成立。

綜上所述，不存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列。

…………………16分