Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx（a＞1），若對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A、（1，4）
• B、（1，4]
• C、（1，5）
• D、（1，5]

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導數(shù)，

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1的幾何意義為函數(shù)曲線上任意兩點的割線斜率k＞-1，轉(zhuǎn)化為導數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

2

x²-ax+（a-1）lnx（a＞1），
∴函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x-a+

a-1

x

，
若對于任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有

f(x 1)-f(x 2)

x1-x 2

＞-1，
即割線的斜率k＞-1，
則等價為f′（x）=x-a+

a-1

x

≥-1恒成立，
即x+

a-1

x

≥a-1，
∵a＞1，∴a-1＞0，
則x+

a-1

x

≥2

x• a-1 x

=2

a-1

≥a-1，
即4（a-1）≥（a-1）²，即（a-1）（a-5）≤0，
解得1≤a≤5，
∵a＞1，
∴1＜a≤5，
故選：D

點評：本題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的幾何意義以及斜率的關(guān)系，結(jié)合導數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．