Question

如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點.

（1）求證：平面；
（2）若以為坐標原點，射線、、分別是軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標系，已經計算得是平面的法向量，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

（1）參考解析；（2）

解析試題分析：（1）需證明平面，轉化為證明AD⊥AC,AD⊥PA.因為PA垂直平面ABCD，由題意可得AD⊥AC,AD⊥PA顯然成立，即可得結論.
（2）如圖建立空間直角坐標系，因為是平面的法向量，所以求出平面PAF的法向量，再根據兩平面的法向量的夾角的余弦值，即可得到平面與平面所成銳二面角的余弦值，
試題解析：. (1) 證明方法一：四邊形是平行四邊形，平面，又，，
平面.
方法二：證得是平面的一個法向量，平面.
(2)通過平面幾何圖形性質或者解線性方程組,計算得平面一個法向量為，
又平面法向量為，所以 
所求二面角的余弦值為.
考點：1.線面垂直的證明2.二面角.3.空間向量的運算.4.運算的能力.