Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+a

（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知f（0）=0求出b，再由奇函數(shù)的定義求出b；
（Ⅱ）先用分離常數(shù)法將解析式化簡(jiǎn)后判斷出單調(diào)性，再用定義證明即：取值、作差、變形、判斷符   號(hào)、得出結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是R上奇函數(shù)
由f(0)=0即

-1+b

2+a

=0得b=1（1分）
又由f(-x)=-f(x)即

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，解得a=2（5分）
（Ⅱ）由f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2x+1

-

1

2

（6分）
∵2^x為增函數(shù)，∴f（x）是R上的減函數(shù)（7分）
證明：設(shè)x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=

1

2x1+1

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

（10分）
∵x1＜x2∴2x1＜2x22x2-2x1＞0（11分）
∵2x1+1＞0，2x2+1＞0∴

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）（12分）
∴f（x）是R上的減函數(shù)（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是用奇函數(shù)的定義求系數(shù)和用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，注意變形結(jié)果的形式和題意，
是基礎(chǔ)題．