Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓O與x軸正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q在單位圓上，且滿足∠AOP=

π

6

， ∠AOQ=α， α∈[0，π)．
（1）若cosα=

3

5

，求cos(α-

π

6

)的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（α）=

OP

•

OQ

，求f（α）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,單位圓與周期性

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用同角的平方關(guān)系和兩角差的余弦公式，即可得到；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式和兩角和的正弦公式及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到．

解答： 解：（1）由條件cosα=

3

5

，（0＜α＜

π

2

），
可得sinα=

4

5

，
則cos(α-

π

6

)=coaαcos

π

6

+sinαsin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

4+3 3

10

；
（2）f（α）=

OP

•

OQ

=（cos

π

6

，sin

π

6

）•（cosα，sinα）
=

3

2

cosα+

1

2

sinα=sin（α+

π

3

）   
由于α∈[0，π），
則α+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

），-

3

2

＜sin（α+

π

3

）≤1，
則有f（α）的值域是（-

3

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．