Question

設(shè)a＞0且a≠1），g（x）是f（x）的反函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)關(guān)于x的方程求在區(qū)間[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a=e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：；
（Ⅲ）當(dāng)0＜a≤時(shí)，試比較||與4的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有實(shí)數(shù)解，求出t的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)確定t 的范圍；
（Ⅱ）a=e求出，利用導(dǎo)數(shù)推出是增函數(shù)，求出最小值，即可證明；
（Ⅲ）利用放縮法，求出||的取值范圍，最后推出小于4即可．
解答：解：（1）由題意，得a^x=＞0
故g（x）=，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）
由得t=（x-1）²（7-x），x∈[2，6]
則t′=-3x²+18x-15=-3（x-1）（x-5）
列表如下：

x	2	（2，5）	5	（5，6）	6
t'		+		-
t	5	遞增	極大值32	遞減	25

所以t_最小值=5，t_最大值=32
所以t的取值范圍為[5，32]（5分）

（Ⅱ）
=ln（）
=-ln
令u（z）=-lnz²-=-2lnz+z-，z＞0
則u′（z）=-=（1-）²≥0
所以u(píng)（z）在（0，+∞）上是增函數(shù)
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213853205424097/SYS201310232138532054240021_DA/14.png">＞1＞0，所以u(píng)（）＞u（1）=0
即ln＞0
即（9分）

（3）設(shè)a=，則p≥1，1＜f（1）=≤3，
當(dāng)n=1時(shí)，|f（1）-1|=≤2＜4，
當(dāng)n≥2時(shí)，
設(shè)k≥2，k∈N^*時(shí)，則f（k）=，
=1+
所以1＜f（k）≤1+，
從而n-1＜≤n-1+=n+1-＜n+1，
所以n＜＜f（1）+n+1≤n+4，
綜上所述，總有|-n|＜4．
點(diǎn)評(píng)：本小題考產(chǎn)函數(shù)、反函數(shù)、方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力．