Question

在平面直角坐標(biāo)系XOY中，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C 的極坐標(biāo)方程為 ρsin²θ=4cosθ，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosa y=1+tsina

，（t為參數(shù)，0≤a＜π）．
（Ⅰ）化曲線C 的極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l 經(jīng)過點（1，0），求直線l被曲線C截得的線段AB的長．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）由曲線C 的極坐標(biāo)方程 ρsin²θ=4cosθ，可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；
（II）由直線l的參數(shù)方程

x=tcosa y=1+tsina

，消去t參數(shù)，化為y-1=xtanα，把點（1，0）代入，可得tanα=-1，即可得出直線l的方程．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：（I）由曲線C 的極坐標(biāo)方程 ρsin²θ=4cosθ，可得ρ²sin²θ=4ρcosθ，∴y²=4x．
（II）直線l的參數(shù)方程為

x=tcosa y=1+tsina

，（t為參數(shù)）化為y-1=xtanα，
∵直線l 經(jīng)過點（1，0），∴tanα=-1，
∴直線l的方程為y=-x+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y=-x+1 y2=4x

，化為x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×(62-4)

=8．

點評：本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．