Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=120°，AC=CB=A₁A=1．
（Ⅰ）求證：B₁C₁∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求三棱錐A-A₁CB的體積；
（Ⅲ）求二面角A₁-CB-A的正切值．

Answer 1

分析：方法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面A₁BC內(nèi)找到與直線B₁C₁平行的直線就可以了；
（2）解決三棱錐求體積的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到合適的高與對(duì)應(yīng)的底面，切忌不審圖形，盲目求解．如此題中要求三棱錐A-A₁CB的體積，不要直接的就把面A₁CB看成底面，再去尋找它的高，這樣子高很難作出來(lái)，并且還要證明；實(shí)際上，只要稍微觀察一下就知道，如果以ACB為底面的話，則很顯然的AA₁即為高，計(jì)算就簡(jiǎn)單多了．
（3）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理．此題中因?yàn)锳₁A⊥平面ABC，所以在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A向BC做垂線AD，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接A₁D，所以A₁D⊥BD．則∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
方法二：
在直棱柱、直棱錐、直棱臺(tái)中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA、CC₁為x、z軸，以及CA的垂線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系c-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．

解答：解：方法1：
（Ⅰ）
∵在三棱柱中C₁B₁∥CB，BC?平面A₁BC且B₁C₁?平面A₁BC
則B₁C₁∥平面A₁BC．（3分）
（Ⅱ）解：因?yàn)閂_A-A1CB=V_A1-ABC=

1

3

×1×（

1

2

×1×1×sin120°）=

3

12

．（6分）
（Ⅲ）解：在平面ABC內(nèi)過(guò)點(diǎn)A向BC做垂線AD，
交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接A₁D．
因?yàn)锳₁A⊥平面ABC，
所以A₁D⊥BD．
所以∠A₁DA是二面角A₁-CB-A的平面角．
容易求出AD=

3

2

，
所以tan∠A₁DA=

A1A

AD

=

2

3

=

2 3

3

．
即二面角A₁-CB-A的正切值是

2 3

3

（13分）

方法2：
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則有
A（1，0，0），A₁（1，0，1），B（-

1

2

，

3

2

，0），
B₁（-

1

2

，

3

2

，1），C₁（0，0，1）．
（Ⅰ）略．
（Ⅱ）略．
（Ⅲ）解：
顯然n₁=（0，0，1）是平面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)n₂=（x，y，z）是平面A₁BC的法向量，
則n₂•

CA1

=0，且n₂•

CB

=0．
即x+z=0，且-

1

2

x+y

3

2

=0．
解得平面A₁BC的一個(gè)法向量是n₂=（1，

3

3

，-1）．
因?yàn)閚₁•n₂=-1，|n₁|=1，|n₂|=

7

3

，
設(shè)二面角A₁-CB-A的大小為β，
則cos（π-β）=-

3

7

=-

21

7

．所以cosβ=

21

7

．
所以tanβ=

2 3

3

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．此題條件及結(jié)論都比較清楚，建議使用方法一求解．