Question

有三個新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點處，且AB=AC=a，BC=2b，今計劃合建一個中心醫(yī)院，為同時方便三鎮(zhèn)，準備建在BC的垂直平分線上的P點處（建立坐標系如圖）．
（Ⅰ）若希望點P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應位于何處？
（Ⅱ）若希望點P到三鎮(zhèn)的最遠距離為最小，則P應位于何處？

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出P的坐標，表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；
（II）記，表示出P至三鎮(zhèn)的最遠距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件a＞b＞0，設(shè)P的坐標為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為=
所以，當時，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點P的坐標是
（Ⅱ）記
P至三鎮(zhèn)的最遠距離為
由解得，記，
于是
當，即h≥b時，
因為在[y^*，+∞）上是增函數(shù)，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)．
所以y=y^*時，函數(shù)g（y）取得最小值．點P的坐標是
當，即h＜b時，因為在[y^*，+∞）上當y=0函數(shù)g（y）取得最小值b，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)，且|h-y|＞b，所以y=0時，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：當h≥b時，點P的坐標是；當h＜b時，點P的坐標是（0，0），其中
點評：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力．