設雙曲線C:=1(a>0)與直線l:x+y=1相交于兩個不同的點A、B.
(I)求雙曲線C的離心率e的取值范圍:
(II)設直線l與y軸的交點為P,且.求a的值.
【答案】分析:(I)把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y,利用判別式大于0和方程二次項系數(shù)不等于0求得a的范圍,進而利用a和c的關系,用a表示出離心率,根據(jù)a的范圍確定離心率的范圍.
(II)設出A,B,P的坐標,根據(jù)求得x1和x2的關系式,利用韋達定理表示出x1+x2和x1x2,聯(lián)立方程求得a.
解答:解:(I)由C與l相交于兩個不同的點,故知方程組
有兩個不同的實數(shù)解.消去y并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①
所以
解得0<a<且a≠1.
雙曲線的離心率

且a≠1,

即離心率e的取值范圍為
(II)設A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)
,

由此得
由于x1和x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
所以
x1•x2=
消去x2,得
由a>0,所以a=
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系.考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力.
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(2)求點P(k,m)的軌跡方程,并指明是何種曲線.

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