Question

已知函數(shù)f（x）=x-

a

x

（a∈R），求證：在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013至多有一個(gè)根．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答： 證明：若a≥0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時(shí)在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013有一個(gè)根，
若a＜0，則f（x）=x-

a

x

=x+

-a

x

（a∈R），則（0，

-a

）上單調(diào)遞減，在[

-a

，+∞）上單調(diào)遞增，
即在x=

-a

），函數(shù)取得最小值f（

-a

）=2

-a

，此時(shí)函數(shù)f（x）在[

|a|

，+∞）上單調(diào)遞增，
若2

-a

＜2013時(shí)，此時(shí)方程f（x）=2013無解，
若2

-a

≥2013，方程f（x）=2013有1解，
綜上：在[

|a|

，+∞）上方程f（x）=2013至多有一個(gè)根．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)f（x）的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，注意要對(duì)a進(jìn)行分類討論．