Question

某工廠要建造一座平面為長方形，且面積為200m²的三級污水處理池（平面圖形如圖），處理池的高度一定．如果四周圍池壁造價為400元/m，中間兩道隔墻造價為248元/m，池底造價為80元/m²．水池所有墻的厚度都忽略不計．
（Ⅰ）怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？
（Ⅱ）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設(shè)計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出此時的最低總造價．

Answer 1

分析：（1）污水處理池的底面積一定，設(shè)寬為x米，可表示出長，從而得出總造價y，利用基本不等式求出最小值；
（2）由長和寬的限制條件，得自變量x的范圍，判斷總造價函數(shù)y在x的取值范圍內(nèi)的函數(shù)值變化情況，求得最小值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)污水池總造價為y元，污水池長為x m．則寬為

200

x

m，水池外圈周壁長為2x+2•

200

x

（m），中間隔墻長2•

200

x

（m），池底面積200（m²）．
∴y=400（2x+2•

200

x

）+248•

200

x

•2+80×200=800（x+

324

x

）+16000
≥1600

x• 324 x

+16000=44800．
當(dāng)且僅當(dāng)x=

324

x

，即x=18，

200

x

=

100

9

時，y_min=44 800．
即當(dāng)污水池長為18m，寬為

100

9

m時，總造價最低，最低為44800元；
（Ⅱ）由限制條件知

0＜x≤16 0＜ 200 x ≤16

，∴12.5≤x≤16．
設(shè)g（x）=x+

324

x

（12.5≤x≤16），
由函數(shù)性質(zhì)易知g（x）在[12.5，16]上是減增函數(shù)，
∴當(dāng)x=16m時（此時

200

x

=12.5m），g（x）有最小值，即y有最小值，y_min=45000（元）．
∴當(dāng)長為16米，寬為12.5米時，總造價最低，為45000元．

點評：本題考查了建立函數(shù)解析式，利用基本不等式求函數(shù)最值的能力，還考查了函數(shù)的單調(diào)性和運算能力，屬于中檔題．