Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的中心在原點(diǎn)O，右焦點(diǎn)F在x軸上，橢圓與y軸交于A、B兩點(diǎn)，其右準(zhǔn)線l與x軸交于T點(diǎn)，直線BF交橢圓于C點(diǎn)，P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn)．

(1)求證：A、C、T三點(diǎn)共線；

(2)如果＝3，四邊形APCB的面積最大值為，求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）見解析（2）橢圓方程為＋y2＝1.P點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】(1)證明：設(shè)橢圓方程為＝1(a＞b＞0)①，則A(0，b)，B(0，－b)，T.

AT：＝1②，BF：＝1③，解得交點(diǎn)C，代入①得

＝＝1，滿足①式，則C點(diǎn)在橢圓上，即A、C、T

三點(diǎn)共線．

(2)【解析】
過C作CE⊥x軸，垂足為E，則△OBF∽△ECF.

∵＝3，CE＝b，EF＝c，則C，代入①得＝1，∴a2＝2c2，b2＝c2.設(shè)P(x0，y0)，則x0＋2＝2c2.此時(shí)C，AC＝c，S△ABC＝·2c·＝c2，

直線AC的方程為x＋2y－2c＝0，P到直線AC的距離為d＝，

S△APC＝d·AC＝··c＝·c.只須求x0＋2y0的最大值，

(解法1)∵(x0＋2y0)2＝＋4＋2·2x0y0≤＋4＋2(＋)＝3(＋2)＝6c2，∴x0＋2y0≤c.當(dāng)且僅當(dāng)x0＝y(tǒng)0＝c時(shí)，(x0＋2y0)max＝c.

(解法2)令x0＋2y0＝t，代入＋2＝2c2得(t－2y0)2＋2－2c2＝0，即6－4ty0＋t2－2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤c.當(dāng)t＝c，代入原方程解得x0＝y(tǒng)0＝c.

∴四邊形的面積最大值為c2＋c2＝c2＝，∴c2＝1，a2＝2，b2＝1，此時(shí)橢圓方程為＋y2＝1.P點(diǎn)坐標(biāo)為.