Question

（本小題滿分12分）已知橢圓的兩個焦點分別為和,離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線（）與橢圓交于、兩點，線段的垂直平分線交軸于點，當變化時,求面積的最大值.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標準方程，由再加上可得結(jié)論；（2）直線與圓錐曲線相交問題，又涉及到交點弦，設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，然后消去（有時也可消去）得關于（或）的一元二次方程，再設交點為坐標為，則可得，（用表示），同時這個方程中判別式（直線與橢圓相交），可得出的取值范圍.由此可由公式得出弦長，中點橫坐標為，進而可寫出的中垂線方程，可得與軸相交的交點的坐標，于是有，這是關于的一個函數(shù)，利用函數(shù)的知識或不等式的性質(zhì)可求得最大值.

試題解析：（1）由已知橢圓的焦點在軸上，，，，，

橢圓的方程為

（2），消去得

直線與橢圓有兩個交點，，可得（*）

設，

，，弦長，

中點， 設，，，

，

，時，，

考點：1.橢圓方程及性質(zhì)；2.直線與橢圓的綜合問題.