Question

f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若a_n=f（n），（n∈N^*），則a₂₀₁₁=________．

Answer 1

2012
分析：通過(guò)對(duì)已知不等式經(jīng)過(guò)仿寫(xiě)得到兩個(gè)左右兩邊相同函數(shù)但方向不同的不等式，利用f（x）≤f（x-6）+6，以及f（x）≥f（x-6）+6得到f（x）=f（x-6）+6，從而得到一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a₂₀₁₁．
解答：∵f（x+3）≤f（x）+3
∴f（x）≤f（x-3）+3≤f（x-6）+6
∵f（x+2）≥f（x）+2
∴f（x）≥f（x-2）+2≥f（x-4）+4≥f（x-6）+6
∴f（x）=f（x-6）+6
∵a_n=f（n），
∴a_n-a_n-6=6
∵a₁=2
∴{a_n}每隔6項(xiàng)取一項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列
∴a₂₀₁₁=a₁+（336-1）×6=2012
故答案為2012
點(diǎn)評(píng)：解決題目中給了一些恒成立的等式或不等式，來(lái)判斷函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題，一般通過(guò)仿寫(xiě)得到更多的等式和不等式，從中判斷出函數(shù)的性質(zhì)．