Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)P（1，f（1）），且在點(diǎn)P處的切線的方程為y=8x-6．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求函數(shù)f（sinx）的最值．

Answer 1

（Ⅰ）∵點(diǎn)P在切線上，
∴f（1）=2．
∴a+b=1．①（2分）
又函數(shù)圖象在點(diǎn)P處的切線斜率為8，
∴f'（1）=8，
又f'（x）=3x²+2ax+b，
∴2a+b=5．②（4分）
解由①②組成的方程組，可得a=4，b=-3．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，可得x＜-3或x＞

1

3

；
令f'（x）＜0，可得-3＜x＜

1

3

．（7分）
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-3)，?(

1

3

，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為(-3，

1

3

)．（9分）
（Ⅲ）設(shè)sinx=t，則問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（t）（-1≤t≤1）的最值，
由（Ⅱ）可知f（t）在(-1，

1

3

)上是減函數(shù)，在(

1

3

，1)上是增函數(shù)．
∴f（t）的最小值為f(

1

3

)=

1

27

+

4

9

-1=-

14

27

．（11分）
又f（-1）=6，f（1）=2，
∴f（t）的最大值為f（-1）=6．
∴函數(shù)f（sinx）的最小值為-

14

27

，最大值為6．（13分）