Question

（2013•德州一模）橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點到直線x-3y=0的距離為

10

5

，離心率為

2 5

5

，拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合；斜率為k的直線l過G的焦點與E交于A，B，與G交于C，D．
（1）求橢圓E及拋物線G的方程；
（2）是否存在學(xué)常數(shù)λ，使

1

|AB|

+

λ

|CD|

為常數(shù)，若存在，求λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點到直線的距離公式列式求出c的值，結(jié)合土偶眼離心率求出a的值，再由拋物線G：y²=2px（p＞0）的焦點與橢圓E的焦點重合即可求得橢圓方程和拋物線方程；
（2）依次射出A，B，C，D四點的坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系分別寫出A，B兩點橫坐標(biāo)的和與積，寫出C，D兩點橫坐標(biāo)的和與積，利用弦長公式求出AB和CD的長度，代入

1

|AB|

+

λ

|CD|

后可求出使

1

|AB|

+

λ

|CD|

為常數(shù)的λ的值．

解答：解：（1）設(shè)E、G的公共焦點為F（c，0），由題意得

c

1+32

=

10

5

，

c

a

=

2 5

5

．
聯(lián)立解得c=2，a=

5

，b=1．
所以橢圓E：

x2

5

+y2=1，拋物線G：y²=8x．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
直線l的方程為y=k（x-2），與橢圓E的方程聯(lián)立

x2 5 +y2=1 y=k(x-2)

，得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
△=400k⁴-20（5k²+1）（4k²-1）=20（k²+1）＞0．
x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 5 (k2+1)

1+5k2

．
直線l的方程為y=k（x-2），
與拋物線G的方程聯(lián)立

y2=8x y=k(x-2)

，得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0．
x3+x4=

4k2+8

k

．
|CD|=x3+x4+4=

8(k2+1)

k2

．

1

|AB|

+

λ

|CD|

=

1+5k2

2 5 (k2+1)

+

λk2

8 5 (k2+1)

=

(20+ 5 λ)k2+4

8 5 (k2+1)

．
要使

1

|AB|

+

λ

|CD|

為常數(shù)，則20+

5

λ=4，得λ=-

16 5

5

．
故存在λ=-

16 5

5

，使

1

|AB|

+

λ

|CD|

為常數(shù)．

點評：本題主要考查了曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了設(shè)而不求的解題思想方法，考查了弦長公式的用法，直線與圓錐曲線問題的特點是計算量比較大，要求考生具備較強(qiáng)的運(yùn)算推理的能力，是難題．