Question

已知f（x）為一次函數(shù)，f[f（1）]=-1，f（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱的圖象為C，若點(diǎn)在曲線C上，并有a₁=1，．
（1 ） 求f（x）的解析式及曲線C的方程；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，對(duì)于一切n∈N^*，都有S_n＞m成立，求自然數(shù)m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱為C，所以曲線C為：f^-1（x）=，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=．由此能夠推導(dǎo)出f（x）的解析式及曲線C的方程．
（2）由f^-1（n）=，知=n+1，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由===-，知S_n=+++…+=（-）+（-）+…+（-）=-．由此能夠求出自然數(shù)m的最大值0．
解答：解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因?yàn)閒（x）的圖象關(guān)于直線x-y=0的對(duì)稱為C，
∴曲線C為：f^-1（x）=，
∴f^-1（n）=，
f^-1（n-1）=，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=．
又點(diǎn)（n，）（n∈N^*）在曲線C上，
∴f^-1（n）=②
f^-1（n-1）=，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=-=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲線C：y=x+1
（2）由②f^-1（n）=，
∴=n+1，
∴••…••=n（n-1）…3•2=n!
∵a₁=1，
∴a_n=n!
（3）∵===-
∴S_n=+++…+=（-）+（-）+…+（-）=-
∵0＜≤，≤-＜，
∴S_n的最小值為．
∴m＜，因而自然數(shù)m的最大值是0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)據(jù)綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．