Question

已知函數(shù)1nx，且m＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得（m＞0）．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，
所以mx﹣1≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以上恒成立．
所以m的取值范圍是[1，+∞）． 
（Ⅱ）令f′（x）=0，∴（m＞0）．         
①若＜1，即m＞1，則x∈[1，e]時(shí)，有f'（x）＞0，
所以f（x）在[1，e]上遞增，
所以f（x）的最大值是的最小值是f（1）=0
②若＜e，即＜m≤1，則時(shí)，f′（x）＜0，
所以f（x）在上遞減；
時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在上遞增．
所以f（x）的最小值是．
又，
所以當(dāng)1﹣e+me＞0，
即＜m≤1時(shí)，有f（e）＞f（1），
所以f（x）的最大值是；
當(dāng)1﹣e+me≤0，即時(shí)，有f（e）≤f（1），
所以f（x）的最大值是f（1）=0．
③若，即，則x∈[1，e]時(shí)，有f'（x）＜0，
所以f（x）在[1，e]上遞增，
所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是．
所以f（x）的最大值是，
f（x）的最小值是