Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，設(shè)頂點A在底面BCD上的射影為E．
（1）求證：BC=DE；
（2）求CE與平面ACD所成角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）由E是頂點A在底面BCD上的射影，得到AE垂直于底面，所以AE⊥CD，結(jié)合已知可證得CD垂直于平面AED，則CD⊥ED，同理得到BC⊥BE，再利用邊的關(guān)系得到BCDE為正方形，則問題得證；
（2）取AD的中點H，則EH⊥AD，連接CH，可得∠ECH是直線CE與平面ACD所成的角，即可得出結(jié)論．
解答：（1）證明：如圖，
因為頂點A在底面BCD上的射影為E，所以AE⊥平面BCD，則AE⊥CD，
又AD⊥CD，且AE∩AD=A，則CD⊥平面AED，
又DE?平面AED，故CD⊥DE，
同理可得CB⊥BE，則四邊形BCDE為矩形，又BC=CD，
則四邊形BCDE為正方形，故BC=DE．
（2）解：由已知可得AD=6，AE=ED=6，取AD的中點H，則EH⊥AD，連接CH
則∵CD⊥平面AED，∴CD⊥EH
∴EH⊥平面ACD
∴∠ECH是直線CE與平面ACD所成的角
∵
∴sin∠ECH==
∴∠ECH=30°，
即直線CE與平面ACD所成的角30°．
點評：本題考查了直線和平面垂直的性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．