Question

設(shè)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）證明f（x）奇函數(shù)；
（3）解不等式

1

2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x）．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件通過x=y=0，直接求f（0）；
（2）通過函數(shù)的奇偶性的定義，直接證明f（x）是奇函數(shù)；
（3）利用已知條件轉(zhuǎn)化不等式．通過函數(shù)的單調(diào)性直接求解不等式

1

2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x）的解集即可．

解答：解：（1）由題設(shè)，令x=y=0，
恒等式可變?yōu)閒（0+0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，
（2）令y=-x，則由f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0=f（x）+f（-x），即得f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)
（4）由

1

2

f（x²）-f（x）＞

1

2

f（3x），
f（x²）-f（3x）＞2f（x），
即f（x²）+f（-3x）＞2f（x），
又由已知得：f[2（x）]=2f（x）
∴f（x²-3x）＞f（2x），
由函數(shù)f（x）是增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為x²-3x＞2x．即x²-5x＞0，
∴不等式的解集{x|x＜0或x＞5}．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．