Question

如圖，圓O的直徑AB=d，P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，Bp=a，割線PCD交圓O于點(diǎn)C、D，過(guò)點(diǎn)P作AP的垂線，交直線AC于點(diǎn)E，交直線AD于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）求PE•PF的值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連接BC，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠APE=90°，即P，B，C，E四點(diǎn)共圓，
∴∠PEC=∠CBA．
又A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠CBA=PDF，
∴∠PEC=∠PDF；
（Ⅱ）解：∵∠PEC=∠PDF，∴D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=a（a+d）．
分析：（Ⅰ）利用AB是圓O的直徑，可得∠ACB=∠APE=90°，從而P、B、C、E四點(diǎn)共圓，又A，B，C，D四點(diǎn)共圓，利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，可得結(jié)論；
（Ⅱ）證明D，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，利用割線定理，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的性質(zhì)，考查四點(diǎn)共圓的判定，考查割線的性質(zhì)，屬于中檔題．