Question

從某批次的燈泡中隨機地抽取200個樣品，對其使用壽命進行實驗檢測，將結(jié)果列成頻率分布表如下．根據(jù)壽命將燈泡分成一等品、合格品和次品三個等級，其中壽命大于或等于500天的燈泡是一等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是合格品．

壽命（天）	頻數(shù)	頻率
[100，200）	20	a
[200，300）	30	0.15
[300，400）	b	0.35
[400，500）	30	0.15
[500，600）	50	0.25
合計	200	1

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出a，b的值；
（Ⅱ）從燈泡樣品中隨機地取n（n∈N^*）個，如果這n個燈泡的等級分布情況恰好與從這200個樣品中按三個等級分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值；
（Ⅲ）從這個批次的燈泡中隨機地取3個進行使用，若將上述頻率作為概率，用ξ表示3個燈泡中次品的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布表,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）由頻率分布表，得頻率之和為1，頻數(shù)之和為200，由此能求出a和b．
（Ⅱ）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個，正品有100個，次品有50個，優(yōu)等品、正品和次品的比例為50：100：50=1：2：1．由此按分層抽樣法，能求出n的最小值．
（Ⅲ）由已知得ξ的所有取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，

1

4

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布表，得：
a=1-0.15-0.35-0.15-0.25=0.1．
b=200-20-30-30-50=70．
（Ⅱ）由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個，正品有100個，次品有50個，
∴優(yōu)等品、正品和次品的比例為50：100：50=1：2：1．…（4分）
∴按分層抽樣法，購買燈泡數(shù)n=k+2k+k=4k（k∈N^*），
∴n的最小值為4．…（6分）
（Ⅲ）ξ的所有取值為0，1，2，3．…（7分）
由題意，購買一個燈泡，且這個燈泡是次品的概率為0.1+0.15=0.25，…（8分）
從本批次燈泡中購買3個，ξ表示3個燈泡中次品的個數(shù)，則ξ～B（3，

1

4

），
∴P（ξ=0）=

C

0 3

×（1-

1

4

）³=

27

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

4

)(1-

1

4

)2=

27

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)=

9

64

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，…（11分）
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

…（12分）
∴ξ的數(shù)學期望E（ξ）=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．…（13分）

點評：本題考查頻率分布列的應(yīng)用，考查分層抽樣的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．